Математический анализ: примеры
Объём n-мерного шара и площадь сферы
Источники:
- Демидов Обобщенные функции в математической физике, с. 8
- How to derive the volume of an n-dimensional hypersphere
- Hypersphere: MathWorld
\(B_n\) - единичный шар в \(\mathbb R^n\), \(\sigma_n\) - площадь поверхности единичной (\(n-1\))-мерной сферы в \(\mathbb R^n\)
\[|B_n| = \int_0^1 r^{n-1}\sigma_n dr = \dfrac{\sigma_n}{n}\]Дискуссия на форуме по поводу этой формулы
Найдём \(\sigma_n\).
\(\int_{\mathbb R^n} e^{-|x|^2}dx = \int_{\mathbb R^n} e^{-(|x_1|^2 + |x_2|^2 + \ldots + |x_n|^2)}dx =\) \(= \left(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|x_1|^2}dx_1\right)\left(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|x_2|^2}dx_2\right)\ldots\left(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|x_n|^2}dx_n\right) = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt\right)^n.\)
Делаем замену:
\[\int_{\mathbb R^n} e^{-|x|^2}dx = \int_0^\infty e^{-r^2}r^{n-1}\sigma_n dr\](Здесь \(r^{n-1}\sigma_n\) - площадь сферы радиуса \(r\).)
\(\Gamma(\lambda) = \int_0^\infty t^{\lambda - 1}e^{-t}dt\), где \({\rm Re}\, \lambda > 0\) - гамма-функция Эйлера.
\[\int_0^\infty e^{-r^2}r^{n-1}dr = \int_0^\infty e^{-r^2}r^{n-2}rdr = \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-r^2}e^{2(\frac{n}{2}-1)}d(r^2) = \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-t}t^{\frac{n}{2} - 1}dt = \frac{1}{2}\Gamma(n/2)\]Итак,
\[\tag{1} \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt\right)^n = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\sigma_n\]При \(n = 2\): \(\left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt\right)^2 = \pi\Gamma(1) = \pi\int_0^\infty e^{-t}dt = \pi\).
Поэтому
\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt = \sqrt{\pi}\]Из формулы (1):
\[\pi^{n/2} = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\sigma_n \Rightarrow \sigma_n = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\]При \(n = 3\):
\[\sigma_3 = 4\pi = \frac{2\pi^{3/2}}{\Gamma(\frac{3}{2})} \Rightarrow 2\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{\pi} \Rightarrow \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.\] \[\Gamma(\lambda + 1) = \lambda\Gamma(\lambda) \Rightarrow\Gamma(n+1) = n!\] \[\sigma_5 = \sigma_{2\cdot 2 + 1} = \dfrac{2\pi^{2 + 1/2}}{\Gamma(5/2)} = \dfrac{2\pi^{2 + 1/2}}{3/2 \cdot \Gamma(3/2)} = \dfrac{2\pi^{2}}{3/2 \cdot 1/2}.\]Итак,
\[\sigma_{2n} = \frac{2\pi^n}{(n-1)!}, \quad \sigma_{2n+1} = \frac{2\pi^n}{(n-1/2)\cdot(n-3/2)\cdot\ldots\cdot 3/2 \cdot 1/2}.\]Отметим, что \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}dt = 2\int_0^\infty e^{-t}d(\sqrt{t}) = 2\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi},\)
\[\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.\]