Функциональный анализ: примеры

Метрические пространства

Пример 1

Пространство $C[0,+\infty)$ не банахово.

Норма в этом пространстве: \(\|y\|_{C[0,+\infty)} = \sup\limits_{t\in[0,+\infty)} y(t)\).

Приведём пример фундаментальной, но не сходящейся последовательности.

Определим кусочно-линейную функцию с вершинами в точках $0, 1, 2, \ldots$ по следующей формуле:

\[y_n(0) = 0,\quad y_n(k) = \max\left\{ 1 - \frac{n}{k}, 0\right\}, \; k = 1, 2, \ldots\]

Нетрудно видеть, что для любого $n$: $y_n(1) = y_n(2) = \ldots = y_n(n) = 0$. Отсюда \(\|y_n - y_m\|_{C[0,+\infty)} < 1/k\), если \(n, m > k\). Следовательно, последовательность $y_n$ фундаментальна.

Допустим, что $y_n \to y$, т.е. $|y_n - y|_{C[0,+\infty)} \to 0$. Тогда $|y_n(k) - y(k)| \to 0\;\; \forall k = 1, 2, \ldots$.

В то же время $\forall\, k = 1, 2, \ldots:\, y_n(k) \to 0,\; n \to \infty$, поэтому $y = 0$. Но $|y_n| = 1 \; \forall n$, потому что $y_n(k) \to 1,\; k \to +\infty$. Отсюда $|y| = 1$ – противоречие. Следовательно, последовательность $y_n$ фундаментальна и не сходится, а значит, пространство $C[0,+\infty)$ не является полным.

Пространства Соболева

Пример 2

Справедливо вложение \(H^1(a,b) \subset C[a,b]\), вложение строгое.

Докажем, что \(\exists u \in C[a,b] \colon u \notin H^1(a,b)\).

\(u(x) = \sqrt{x} \in C[0,1]\), \(u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\),

\(\displaystyle\int_0^1 (u'(x))^2\,dx = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{x} = \infty \Rightarrow u' \notin L^2(0, 1) \Rightarrow u \notin H^1(0,1)\).

Пример 3

Для функции \(x(t) \in L^2(0,\pi)\) следующие условия равносильны:

\[x(t) \in H^1_0(0, \pi) \Leftrightarrow \sum_{k=1}^\infty k^2 b_k < \infty,\] \[b_k = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x(t) \sin kt \,dt.\]

При этом \(\|x(t)\|^2_{H^1} = \dfrac{\pi}{2}\sum_{k=1}^\infty (k^2+1)b_k^2\).

(?) Где здесь учитывается, что функция равна 0 на границе?

Нахождение базиса в \(L^2\) и \(H^1_0\)

Рассмотрим краевую задачу: \(-u''(x) = f(x), \;\; x \in (0,\pi),\) \(u(0) = u(\pi) = 0.\)

Слабая формулировка: \(u \in H^1_0(0,\pi) \colon \int_0^\pi u' v' \,dx = \int_0^\pi fv \,dx \;\; \forall v \in H^1_0(0,\pi)\).

Скалярное произведение в \(L^2(0,\pi)\): \((u,v) = \int_0^\pi uv\,dx\).

Скалярное произведение в \(H^1_0(0,\pi)\): \(((u,v)) = \int_0^\pi u'v'\,dx\).

Запишем задачу в виде: \(((u,v)) = (f,v) \; \forall v \in H^1_0(0,\pi)\).

\(f \colon H^1_0(0,\pi) \to \mathbb R: (f,v) = \int_0^\pi fv \,dx\) - линейный непрерывный функционал, так как по неравенству Фридрихса-Пуанкаре

\[|(f,v)| \leq \|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2} \leq C\|f\|_{L^2}\|v\|_{H^1_0}.\]

По теореме Рисса существует единственный элемент \(F \in H^1_0(0,\pi)\): \(((F,v)) = (f,v) \; \forall v \in H^1_0(0,\pi)\).

Аналогично определим оператор \(A \colon L^2(0,\pi) \to H^1_0(0,\pi)\): \(((Au,v)) = (u,v)\; \forall v \in H^1_0(0,\pi)\).

\(A \colon H^1_0(0,\pi) \to H^1_0(0,\pi)\) - самосопряженный и компактный [Михайлов, с. 177].

Самосопряженность:

\[((Au,v)) = (u,v) = (v,u) = ((Av,u)) = ((u,Av)).\]

Докажем компактность. Оператор \(A \colon L^2(0,\pi) \to H^1_0(0,\pi)\) непрерывен:

\[\|Au\|_{H^1_0} = \sup_{\|v\|_{H^1_0} = 1} ((Au,v)) = \sup_{\|v\|_{H^1_0} = 1} (u,v) \leq C\|u\|_{L^2}.\]

Пусть последовательность \(\{x_n\} \subset H^1_0(0,\pi)\) ограничена, тогда в силу компактности вложения \(H^1(0,\pi) \subset L^2(0,\pi)\) найдется подпоследовательность \(\{x_{n'}\} \colon x_{n'} \to x\) в \(L^2(0,\pi)\). Следовательно, в силу непрерывности оператора \(A\) получаем, что \(Ax_{n'} \to Ax\) в \(H^1_0(0,\pi)\). Таким образом, оператор \(A\) переводит ограниченное множество в относительно компактное, поэтому \(A\) компактен.

Следовательно, по теореме Гильберта-Шмидта собственные векторы оператора \(A\) образуют ортогональный базис в \(H^1_0(0,\pi)\).

Найдём собственные векторы и собственные значения, для этого рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля:

\[-u''(x) = \lambda u(x), \; x \in (0,\pi),\] \[u(0) = u(\pi) = 0.\]

Слабая формулировка: \(u \in H^1_0(0,\pi): ((u, v)) = \lambda (u,v) = \lambda ((Au,v)) \;\; \forall v \in H^1_0(0,\pi)\), что эквивалентно равенству \(u = \lambda Au\).

Найдем собственные векторы и собственные значения: \(u_j = \lambda_j Au_j\).

Задача Штурма-Лиувилля имеет решение [Алексеев, §4.1]: \(\lambda_j = j^2, \widetilde u_j(x) = \sin(jx)\).

\[\|\widetilde u_j\|^2_{L^2} = \int_0^\pi \sin^2(jx)\,dx = \int_0^\pi \frac{1 - \cos(2jx)}{2}\,dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4j}\sin(2jx)|_0^\pi = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \|\widetilde u_j\| = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.\] \[u_j = \frac{\widetilde u_j}{\|\widetilde u_j\|_{L^2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(jx),\; \|u_j\|_{L^2} = 1.\] \[((u_j, v)) = \lambda_j(u_j, v)\] \[v = u_j \Rightarrow \|u_j\|^2_{H^1_0} = \lambda_j\|u_j\|^2_{L^2} = \lambda_j \Rightarrow \|u_j\|_{H^1_0} = \sqrt{\lambda_j} = j\] \[v_j(x) = \frac{u_j(x)}{\|u_j\|_{H^1_0}} = \frac{1}{j}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(jx)\]

${v_j}$ - ортонормированный базис в $H^1_0(0,\pi)$.

Разложение в ряд Фурье

\[\forall f \in H^1(0,\pi) \colon f = \sum_{j=1}^\infty ((f,v_j))v_j\] \[\|f\|^2_{H^1_0} = \sum_{j=1}^\infty |((f,v_j))|^2\]

\(((f,v_j)) = \lambda_j (f,v_j) = j^2 \int_0^\pi f(x)\frac{1}{j}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(jx)\,dx = j\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\pi f(x)\sin(jx)\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}jf_j,\) где \(f_j = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x) \sin(jx)\,dx\).

\[\|f\|^2_{H^1_0} = \frac{\pi}{2}\sum_{j = 1}^\infty j^2 f_j^2.\] \[f \in H^1_0(0,\pi) \Leftrightarrow \|f\|_{H^1_0}^2 < \infty \Leftrightarrow \sum_{j=1}^\infty j^2 f_j^2 < \infty.\]

\(H^1_0(0,\pi)\) плотно в \(L^2(0,\pi) \Rightarrow u_j\) – базис в \(L^2(0,\pi) \Rightarrow f = \sum_{j=1}^\infty (f,u_j)u_j\), \(\|f\|^2_{L^2} = \sum_{j=1}^\infty|(f,u_j)|^2\).

\[(f,u_j) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\pi f(x)\sin(jx)\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}f_j\] \[\|f\|^2_{L^2} = \frac{\pi}{2}\sum_{j=1}^\infty f_j^2\] \[\|f\|^2_{H^1} = \|f\|^2_{L^2} + \|f\|^2_{H^1_0} = \frac{\pi}{2}\sum_{j=1}^\infty (j^2+1)f_j^2.\]