Ряды Фурье
Источники:
- Колмогоров, Фомин (гл. III, пар. 4, п. 4)
- Треногин (гл. I, пар. 6, п. 6.5)
- Zeidler Nonlinear functional analysis and its applications. II/A: Linear monotone operators (с. 116)
Пусть \(V\) - гильбертово пространство, \(\{u_n\}\) - счетная ортонормированная система в \(V\): \((u_i,u_j)=\delta_{ij}\).
Ряд Фурье имеет вид
\[u = \sum\limits_{n=1}^\infty (u_n, u)u_n\tag{1}\]Определение. Ортонормированная система \(\{u_n\}\) называется полной в \(V\), если (1) выполняется для всех \(u\in V\).
Найдём наилучшее приближение элемента из \(u\in V\) конечными линейными комбинациями \(\sum\limits_{k=1}^n c_k u_k\).
\[f(c_1,\ldots,c_n)=\left\| u - \sum_{k=1}^n c_ku_k \right\|^2 \to \min\]Это задача наименьших квадратов, которая имеет решение \(c_k = (u_k,u)\).
Доказательство.
\[f(c)=\|u\|^2 - 2\sum\limits_{k=1}^n c_k(u,u_k) + \sum\limits_{k=1}^n c_k^2 = \|u\|^2 - \sum\limits_{k=1}^n (u, u_k)^2 + \sum\limits_{k=1}^n ((u, u_k) - c_k)^2\]\(\min f(c) = \|u\|^2 - \sum\limits_{k=1}^n (u, u_k)^2\) при \(c_k = (u_k,u)\).
Поскольку \(f(c) \geq 0\), то
\[\|u\|^2 \geq \sum\limits_{k=1}^n (u, u_k)^2\]Данное неравенство называется неравенством Бесселя.
Предложение (критерий сходимости). Ряд \(\sum_n c_n u_n\) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд \(\sum_n |c_n|^2\).
Доказательство. Используем критерий Коши, полноту пространства \(V\) и равенство
\[\left\|\sum_{n=m}^{m+k} c_nu_n\right\|^2=\sum_{n=m}^{m+k}|c_n|^2.\]Теорема. [Zeidler, с. 118] Следующие условия взаимно эквивалентны:
(i) Ортонормированная система \(\{u_n\}\) полная.
(ii) Линейная оболочка \(\{u_n\}\) плотна в \(V\).
(iii) Для любого \(u \in V\) выполняется равенство Парсеваля \(\|u\|^2 = \sum_n |(u_n, u)|^2\).
(iv) Пусть \(D\) плотно в \(V\). Из \(v \in D\) и \((u_n, v) = 0 \forall n\) вытекает \(v=0\).