Дифференциальные уравнения

Источники

1. Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Линейные ОДУ

\[f'(s) + \mu(s)f(s) = Q(s)\]

Домножим уравнение на интегрирующий множитель \(\exp\left(\int_0^s \mu(x) dx\right)\).

\[f'(s)\exp\left(\int_0^s \mu(x) dx\right) + \mu(s)f(s)\exp\left(\int_0^s \mu(x) dx\right) = Q(s)\exp\left(\int_0^s \mu(x) dx\right)\] \[\left( f(s)e^{\int_0^s \mu(x) dx} \right)' = Q(s)e^{\int_0^s \mu(x) dx}\]

Проинтегрируем полученное выражение от 0 до \(t\).

\[f(t)e^{\int_0^t \mu(x) dx} = f(0) + \int_0^t Q(s)e^{\int_0^s \mu(x) dx}\, ds\] \[f(t) = f(0)e^{-\int_0^t \mu(x) dx} + e^{-\int_0^t \mu(x) dx}\int_0^t Q(s)e^{\int_0^s \mu(x) dx}\, ds =\] \[= f(0)e^{-\int_0^t \mu(x) dx} + \int_0^t Q(s)e^{- \int_s^t \mu(x) dx}\, ds.\]